Ecuații liniare – exerciții rezolvate

octombrie 9, 2018octombrie 9, 2018 matishPosted in Uncategorized

a) $3 x - 5 = 4$
b) $7 - 2 x = - 5$
c) $6 ( x + 8 ) = - 7$
Rezolvare:
1. a) $3 x - 5 = 4$
$3 x = 4 + 5$
$3 x = 9$
$x = 3$
——————————
b) $7 - 2 x = - 5$
$- 2 x = - 5 - 7$
$- 2 x = - 12$
$x = 6$
——————————
c) $6 ( x + 8 ) = - 7$
$6 x + 48 = - 7$
$6 x = - 7 - 48$
$6 x = - 55$
$x = - \frac { 55 } { 6 }$
$x = - 9 \frac { 1 } { 6 }$
a) $\frac { x } { 3 } + \frac { 1 } { 3 } = 5$
b) $\frac { x } { 5 } + \frac { 1 } { 2 } = - 1$
c) $\frac { x } { 3 } + \frac { 3 } { 4 } = 1 \frac { 1 } { 2 }$
Rezolvare:
2. a)
$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { 1 } { 3 } = 5 } \\ { 3 \cdot \frac { x } { 3 } + 3 \cdot \frac { 1 } { 3 } = 3 \cdot 5 } \\ { x + 1 = 15 } \\ { x = 15 - 1 } \\ { x = 14 } \end{array} \right$
———————————————————————
b)
$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 5 } + \frac { 1 } { 2 } = - 1 } \\ { 10 \cdot \frac { x } { 5 } + 10 \cdot \frac { 1 } { 2 } = 10 \cdot - 1 } \\ { 2 x + 5 = - 10 } \\ { 2 x = - 10 - 5 } \\ { \left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 5 } + \frac { 1 } { 2 } = - 1 } \\ { x = - 7,5 } \end{array} \right. } \end{array} \right$
———————————————————————
c)
$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { 3 } { 4 } = 1 \frac { 1 } { 2 } } \\ { 12 \cdot \frac { x } { 3 } + 12 \cdot \frac { 3 } { 4 } = 12 \cdot \frac { 3 } { 2 } } \\ { 4 x + 9 = 18 } \\ { 4 x = 18 - 9 } \end{array} \right$
$\left. \begin{array} { l } { 4 x = 9 } \\ { x = \frac { 9 } { 4 } } \\ { x = 2 \frac { 1 } { 4 } } \end{array} \right.$
a) $0,5 x - 3 = 6$
b) $- 2,25 x + 2,1 = 1,3$
c) $\frac { 3 } { 5 } + 2,5 x = 3,4$
Rezolvare:
—————————————————
a)
$0,5 x - 3 = 6$
$0,5 x = 6 + 3$
$0,5 x = 9$
$x = 9 : 0,5$
$x = 18$
sau
$x = 9 : 0,5$
$x = 9 : \frac{1}{2}$
$x = 9 \cdot \frac{1}{2}$
$x = 18$
—————————————————
b)
$- 2,25 x + 2,1 = 1,3$
$- 2,25 x = 1,3 - 2,1$
$- 2,25 x = - 0,8$
$- 2 \frac { 1 } { 4 } = - \frac { 4 } { 5 }$
$x = - \frac { 4 } { 5 } : \left( - \frac { 9 } { 4 } \right)$
$x = - \frac { 1 } { 5 } \cdot \left( - \frac { 4 } { 9 } \right)$
$x = - \frac { 16 } { 54 }$
—————————————————
c)
$\left. \begin{array} { l } { \frac { 3 } { 5 } + 2,5 x = 3,4 } \\ { 0,6 + 2,5 x = 3,4 } \\ { 2,5 x = 3,4 - 0,6 } \\ { 2,5 x = 2,8 } \\ { x = 2,8 : 2,5 } \\ { x = 1,12 } \end{array} \right.$
a) $5 x - 4 = 3 x - 10$
b) $4 x - 1 = 8 x - 10$
c) $6 - 3 ( x + 2 ) = 5 ( x + 4 ) + 10$
Rezolvare:
—————————————————
a)
$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 4 = 3 x - 10 } \\ { 5 x - 3 x = 4 - 10 } \\ { 2 x = - 6 } \\ { x = - 3 } \end{array} \right.$
—————————————————
b)
$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 1 = 8 x - 10 } \\ { 4 x - 8 x = - 10 + 1 } \\ { } \\ { - 4 x = - 9 } \\ { x = \frac { - 9 } { - 4 } } \\ { x = 2 \frac { 1 } { 4 } } \end{array} \right.$
—————————————————
c)
$\left. \begin{array} { l } { 6 - 3 ( x + 2 ) = 5 ( x + 4 ) + 10 } \\ { 6 - 3 x - 6 = 5 x + 20 + 10 } \\ { - 3 x - 5 x = 20 + 10 - 6 + 6 } \\ { - 8 x = 30 } \\ { x = \frac { 30 } { - 8 } } \\ { x = - 3,75 } \end{array} \right.$
—————————————————
a) $7 x + 4 = x - 9 + 13$
b) $5 x - 1 = 3 x - 10 + 2 x$
c) $6 ( x + 1 ) = 3 ( 2 x + 1 ) + 3$
Rezolvare:
—————————————————
a)
$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 4 = x - 9 + 13 } \\ { 7 x - x = - 9 + 13 - 4 } \\ { 6 x = 4 - 4 } \\ { } \\ { 6 x = 0 } \\ { x = \frac { 0 } { 6 } } \\ { x = 0 } \end{array} \right.$
—————————————————
b) $\left. \begin{array} { l } { 5 x - 1 = 3 x - 10 + 2 x } \\ { 5 x - 3 x - 2 x = 1 - 10 } \\ { 0 x = - 9 } \end{array} \right.$
Nu are solutie
$x \in \emptyset$
————————————————–
c)
$\left. \begin{array} { l } { 6 ( x + 1 ) = 3 ( 2 x + 1 ) } \\ { 6 x + 6 = 6 x + 3 + 3 } \\ { 6 x - 6 x = 3 + 3 - 6 } \\ { 0 x = 0 } \end{array} \right.$
Nedefinit $x \in \mathbb { R }$
a) $\frac { x } { 3 } - \frac { 1 } { 2 } = \frac { x } { 4 } + \frac { 1 } { 2 }$
b) $x - \frac { 2 x - 5 } { 5 } = 4$
c) $\frac { 2 x } { 3 } - \frac { x - 3 } { 6 } - 0,5 = x$
d) $\frac { 3 ( x - 1 ) } { 2 } + \frac { x - 4 } { 3 } = 12 - \frac { x + 1 } { 2 }$
e) $\frac { 2 x + 3 } { 3 } - \frac { 5 x - 14 } { 12 } = \frac { x + 1 } { 4 } - 3$
Rezolvare:
—————————————————————————
a)
$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { 1 } { 2 } = \frac { x } { 4 } + \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { x } { 3 } - \frac { 1 } { 2 } = \frac { x } { 4 } + \frac { 1 } { 2 } | \cdot 12 } \\ { 12 \cdot \frac { x } { 3 } - 12 \cdot \frac { 1 } { 2 } = 12 \cdot \frac { x } { 4 } + 12 \cdot \frac { 1 } { 2 } } \\ { 4 x - 6 = 3 x + 6 } \\ { 4 x - 3 x = 6 + 6 } \\ { x = 12 } \end{array} \right.$
—————————————————————————
b)
$\left. \begin{array} { l } { x - \frac { 2 x - 5 } { 5 } = 4 } \\ { x - \frac { 2 x - 5 } { 5 } = 4 | \cdot 5 } \\ { x \cdot 5 - \frac { 2 x - 5 } { 5 } \cdot 5 = 4 \cdot 5 } \\ { 5 x - ( 2 x - 5 ) = 20 } \\ { 5 x - 2 x + 5 = 20 } \\ { 5 x - 2 x = 20 - 5 } \\ { 3 x = 15 } \\ { x = 5 } \end{array} \right.$
—————————————————————————
c)
$\frac { 2 x } { 3 } - \frac { x - 3 } { 6 } - 0,5 = x$
$\frac { 2 x } { 3 } - \frac { x - 3 } { 6 } - 0 , 5 = x | \cdot 6$
$\frac { 2 x } { 3 } \cdot 6 - \frac { x - 3 } { 6 } \cdot 6 - 0,5 \cdot 6 = x \cdot 6$
$4 x - ( x - 3 ) - 3 = 6 x$
$4 x - x + 3 - 3 = 6 x$
$4 x - x - 6 x = 0$
$- 3 x = 0$
$x = \frac { 0 } { - 3 }$
$x = 0$
—————————————————————————
d)
$\left. \begin{array} { l } { \frac { 3 ( x - 1 ) } { 2 } + \frac { x - 4 } { 3 } = 12 - \frac { x + 1 } { 2 } } \\ { \frac { 3 ( x - 1 ) } { 2 } + \frac { x - 4 } { 3 } = 12 - \frac { x + 1 } { 2 } | \cdot 6 } \\ { \frac { 3 ( x - 1 ) } { 2 } \cdot 6 + \frac { x - 4 } { 3 } \cdot 6 = 12 \cdot 6 - \frac { x + 1 } { 2 } \cdot 6 } \end{array} \right.$
$\left. \begin{array} { l } { 3 \cdot 3 \cdot ( x - 1 ) + 2 \cdot ( x - 4 ) = 72 - 3 \cdot ( x + 1 ) } \\ { 9 x - 9 + 2 x - 8 = 72 - 3 x - 3 } \\ { 11 x - 17 = 69 - 3 x } \end{array} \right.$
$\left. \begin{array} { l } { 11 x + 3 x = 69 + 17 } \\ { 14 x = 86 } \\ { x = \frac { 86 } { 14 } } \\ { x = 6 \frac { 1 } { 7 } } \end{array} \right.$
—————————————————————————–
e)
$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 3 } { 3 } - \frac { 5 x - 14 } { 12 } = \frac { x + 1 } { 4 } - 3 } \\ { \frac { 2 x + 3 } { 3 } - \frac { 5 x - 14 } { 12 } = \frac { x + 1 } { 4 } - 3 | \cdot 12 } \end{array} \right.$
$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 3 } { 3 } \cdot 12 - \frac { 5 x - 14 } { 12 } \cdot 12 = \frac { x + 1 } { 4 } \cdot 12 - 3 \cdot 12 } \\ { 4 \cdot ( 2 x + 3 ) - ( 5 x - 14 ) = 3 \cdot ( x + 1 ) - 36 } \end{array} \right.$
$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 12 - 5 x + 14 = 3 x + 3 - 36 } \\ { 3 x + 26 = 3 x - 33 } \\ { 0 x = - 59 } \\ { x \in \emptyset } \end{array} \right.$
a) $( 4 x - 3 ) ( 3 x + 4 ) - ( 2 x + 1 ) ( 6 x - 1 ) = 1$
b) $( 3 - 5 x ) ^ { 2 } + ( 1 + 12 x ) ^ { 2 } = ( 13 x - 2 ) ^ { 2 } + 6$
c) $( 2 x - 3 ) ( 2 x + 3 ) - ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } = 8 + 6 x$
Rezolvare:
——————————————————————————
a)
$\left. \begin{array} { l } { \text { a) } ( 4 x - 3 ) ( 3 x + 4 ) - ( 2 x + 1 ) ( 6 x - 1 ) = 1 } \\ { 12 x ^ { 2 } + 16 x - 9 x - 12 - \left( 12 x ^ { 2 } - 2 x + 6 x - 1 \right) = 1 } \\ { 12 x ^ { 2 } + 7 x - 12 - 12 x ^ { 2 } + 2 x - 6 x + 1 = 1 } \\ { 3 x - 11 = 1 } \\ { 3 x = 12 } \\ { x = 4 } \end{array} \right.$
——————————————————————————
b)
$( 3 - 5 x ) ^ { 2 } + ( 1 + 12 x ) ^ { 2 } = ( 13 x - 2 ) ^ { 2 } + 6$
$\left. \begin{array} { l } { 3 ^ { 2 } - 2 \cdot 3 \cdot 5 x + ( 5 x ) ^ { 2 } + 1 + 24 x + 144 x ^ { 2 } = 169 x ^ { 2 } - 52 x + 4 + 6 } \\ { 9 - 30 x + 25 x ^ { 2 } + 1 + 24 x + 144 x ^ { 2 } = 169 x ^ { 2 } - 52 x + 10 } \\ { 10 - 6 x + 169 x ^ { 2 } = 169 x ^ { 2 } - 52 x + 10 } \\ { - 6 x + 169 x ^ { 2 } - 169 x ^ { 2 } + 52 x = 10 - 10 } \\ { 46 x = 0 } \\ { x = \frac { 0 } { 46 } } \\ { x = 0 } \end{array} \right.$
——————————————————————————
c)
$( 2 x - 3 ) ( 2 x + 3 ) - ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } = 8 + 6 x$
$\left. \begin{array} { l } { ( 2 x ) ^ { 2 } - 3 ^ { 2 } - \left( 4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 \right) = 8 + 6 x } \\ { 4 x ^ { 2 } - 9 - 4 x ^ { 2 } + 4 x - 1 = 8 + 6 x } \\ { 4 x - 10 = 8 + 6 x } \\ { 4 x - 6 x = 10 + 8 } \\ { - 2 x = 18 } \\ { x = - 9 } \end{array} \right.$
a) $( x + 3 ) : ( 1 - x ) = - 2$
b) $( x + 1 ) : ( x + 3 ) = ( x - 3 ) : ( x - 2 )$
Rezolvare:
——————————————————————————-
a)
$( x + 3 ) : ( 1 - x ) = - 2$
$\left. \begin{array} { l } { ( x + 3 ) : ( 1 - x ) = - 2 : 1 } \\ { 1 \cdot ( x + 3 ) = - 2 \cdot ( 1 - x ) } \\ { x + 3 = - 2 + 2 x } \\ { x - 2 x = - 2 - 3 } \\ { - x = - 5 } \\ { x = 5 } \end{array} \right.$
——————————————————————————-
b)
$( x + 1 ) : ( x + 3 ) = ( x - 3 ) : ( x - 2 )$
$\left. \begin{array} { l } { ( x + 1 ) ( x - 2 ) = ( x + 3 ) ( x - 3 ) } \\ { x ^ { 2 } - 2 x + x - 2 = x ^ { 2 } - 3 ^ { 2 } } \\ { x ^ { 2 } - x - 2 = x ^ { 2 } - 9 } \\ { x ^ { 2 } - x - x ^ { 2 } = 2 - 9 } \\ { - x = - 7 } \\ { x = 7 } \end{array} \right.$
a) În ecuația $( a - 3 ) x + ( a + 1 ) ( 3 - x ) = x - 7$ definește $a$ astfel încât ecuația să fie echivalentă cu $\frac { x - 5 } { 3 } - \frac { x - 2 } { 2 } = x - 3$
b) Rezolvă ecuația $\frac { x + 2 m } { 2 } - \frac { 2 x - m } { 2 } = 4,5$ dacă $( m - 2 ) ^ { 2 } = m ^ { 2 } + 3 m - 17$
c) Calculează $a$ astfel încât ecuația $( 2 a - x ) ( 3 - x ) = ( 5 + x ) ( a + x ) - 1$ să fie echivalentă cu $( x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 1 ) ^ { 2 } = 2 ( x - 6 )$ .
d) Sunt date ecuațiile $\frac { 2 a - x } { 3 } + \frac { x } { 2 } = \frac { 5 } { 3 }$ și $\frac { y } { 2 } + y - a = 1$ , definește $a$ astfel încât $x=y$
Rezolvare:
a)
Prima dată rezolvăm ecuația a doua:
$\left. \begin{array} { l } { \frac { x - 5 } { 3 } - \frac { x - 2 } { 2 } = x - 3 } \\ { \frac { x - 5 } { 3 } - \frac { x - 2 } { 2 } = x - 3 | \cdot 6 } \\ { \frac { x - 5 } { 3 } \cdot 6 - \frac { x - 2 } { 2 } \cdot 6 = x \cdot 6 - 3 \cdot 6 } \\ { 2 ( x - 5 ) - 3 ( x - 2 ) = 6 x - 18 } \end{array} \right.$
$\left. \begin{array} { l } { 2 ( x - 5 ) - 3 ( x - 2 ) = 6 x - 18 } \\ { 2 x - 10 - 3 x + 6 = 6 x - 18 } \\ { - x - 4 = 6 x - 18 } \\ { - x - 6 x = - 18 + 4 } \\ { - 7 x = - 14 } \\ { x = \frac { - 14 } { - 7 } } \\ { x = 2 } \end{array} \right.$
Apoi în prima ecuație în locul lui x vom pune 2
$\left. \begin{array} { l } { ( a - 3 ) x + ( a + 1 ) ( 3 - x ) = x - 7 } \\ { ( a - 3 ) 2 + ( a + 1 ) ( 3 - 2 ) = 2 - 7 } \\ { 2 a - 6 + ( a + 1 ) \cdot 1 = - 5 } \\ { 2 a - 6 + a + 1 = - 5 } \end{array} \right.$
$\left. \begin{array} { l } { 2 a - 6 + a + 1 = - 5 } \\ { 3 a - 5 = - 5 } \\ { 3 a = - 5 + 5 } \\ { 3 a = 0 } \\ { a = \frac { 0 } { 3 } } \\ { a = 0 } \end{array} \right.$
—————————————————————————-
b)
Prima dată calculăm m din ecuația a doua:
$\left. \begin{array} { l } { ( m - 2 ) ^ { 2 } = m ^ { 2 } + 3 m - 17 } \\ { m ^ { 2 } - 4 m + 4 = m ^ { 2 } + 3 m - 17 } \\ { m ^ { 2 } - 4 m - m ^ { 2 } - 3 m = - 4 - 17 } \end{array} \right.$
$\left. \begin{array} { l } { - 7 m = - 21 } \\ { m = \frac { - 21 } { - 7 } } \\ { m = 3 } \end{array} \right.$
Rezultatul 3 îl introducem în prima ecuație
$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 2 m } { 2 } - \frac { 2 x - m } { 2 } = 4,5 } \\ { \frac { x + 6 } { 2 } - \frac { 2 x - 3 } { 2 } = 4,5 | \cdot 2 } \\ { \frac { x + 6 } { 2 } \cdot 2 - \frac { 2 x - 3 } { 2 } \cdot 2 = 4,5 \cdot 2 } \end{array} \right.$
$\left. \begin{array} { l } { x + 6 - 2 x + 3 = 9 } \\ { - x + 9 = 9 } \\ { - x = 0 } \\ { x = 0 } \end{array} \right.$
—————————————————————————-
c)
$\left. \begin{array} { l } { ( x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 1 ) ^ { 2 } = 2 ( x - 6 ) } \\ { x ^ { 2 } - 6 x + 9 - x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 2 x - 12 } \\ { - 8 x + 8 = 2 x - 12 } \\ { - 8 x - 2 x = - 12 - 8 } \\ { - 10 x = - 20 } \\ { x = \frac { - 20 } { - 10 } } \\ { x = 2 } \end{array} \right.$
—
$\left. \begin{array} { l } { ( 2 a - x ) ( 3 - x ) = ( 5 + x ) ( a + x ) - 1 } \\ { ( 2 a - 2 ) ( 3 - 2 ) = ( 5 + 2 ) ( a + 2 ) - 1 } \\ { ( 2 a - 2 ) \cdot 1 = 7 ( a + 2 ) - 1 } \\ { 2 a - 2 = 7 a + 14 - 1 } \\ { 2 a - 7 a = 14 - 1 + 2 } \\ { - 5 a = 15 } \\ { a = - 3 } \end{array} \right.$
—————————————————————————-
d)
$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 a - x } { 3 } + \frac { x } { 2 } = \frac { 5 } { 3 } } \\ { \frac { 2 a - x } { 3 } + \frac { x } { 2 } = \frac { 5 } { 3 } | \cdot 6 } \\ { \frac { 2 a - x } { 3 } \cdot 6 + \frac { x } { 2 } \cdot 6 = \frac { 5 } { 3 } \cdot 6 } \end{array} \right.$
$\left. \begin{array} { l } { 2 ( 2 a - x ) + 3 x = 10 } \\ { 4 a - 2 x + 3 x = 10 } \\ { 4 a + x = 10 } \\ { x = 10 - 4 a } \end{array} \right.$
—
$\left. \begin{array} { l } { \frac { y } { 2 } + y - a = 1 } \\ { \frac { y } { 2 } + y - a = 1 | \cdot 2 } \\ { \frac { y } { 2 } \cdot 2 + y \cdot 2 - a \cdot 2 = 1 \cdot 2 } \\ { y + 2 y - 2 a = 2 } \end{array} \right.$
$\left. \begin{array} { l } { 3 y - 2 a = 2 } \\ { 3 y = 2 + 2 a } \\ { y = \frac { 2 + 2 a } { 3 } } \end{array} \right.$
—
$\left. \begin{array} { l } { x = y } \\ { 10 - 4 a = \frac { 2 + 2 a } { 3 } } \\ { 10 - 4 a = \frac { 2 + 2 a } { 3 } | \cdot 3 } \\ { 10 \cdot 3 - 4 a \cdot 3 = \frac { 2 + 2 a } { 3 } \cdot 3 } \end{array} \right.$
$\left. \begin{array} { l } { 30 - 12 a = 2 + 2 a } \\ { - 12 a - 2 a = 2 - 30 } \\ { - 14 a = - 28 } \\ { a = \frac { - 28 } { - 14 } } \\ { a = 2 } \end{array} \right.$

Lasă un răspuns Anulează răspunsul