matishPosted in Uncategorized

a ^ { 2 } = \left( \frac { d _ { 1 } } { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { d _ { 2 } } { 2 } \right) ^ { 2 }

A = a \cdot h = \frac { d _ { 1 } \cdot d _ { 2 } } { 2 }

h = \frac { \frac { d _ { 1 } d _ { 2 } } { 2 } } { \frac { a } { 1 } } = \frac { d _ { 1 } d _ { 2 } } { 2 a }

h = \frac { d _ { 1 } d _ { 2 } } { 2 a }

Exerciții

  1. Calculează perimetrul și înălțimea rombului dacă sunt cunoscute diagonalele sale:
    a) \mathrm { d } _ { 1 } = 14 \mathrm { cm } și \mathrm { d } _ { 2 } = 48 \mathrm { cm }
    b) \mathrm { d } _ { 1 } = 8,4 \mathrm { cm } și \mathrm { d } _ { 2 } = 11,2 \mathrm { cm }
    ———
    Rezolvare
    a)
    \mathrm { P } = 4 \mathrm { a }
    a ^ { 2 } = \left( \frac { d _ { 1 } } { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { d _ { 2 } } { 2 } \right) ^ { 2 }
    a ^ { 2 } = 49 + 576
    a ^ { 2 } = 625
    a = \sqrt { 625 }
    a = 25 c m
    \mathbf { P } = 100 \mathrm { cm }
    —
    A = a \cdot h = \frac { d _ { 1 } \cdot d _ { 2 } } { 2 }
    h = \frac { \frac { d _ { 1 } d _ { 2 } } { 2 } } { \frac { a } { 1 } } = \frac { d _ { 1 } d _ { 2 } } { 2 a }
    h = \frac { d _ { 1 } d _ { 2 } } { 2 a }
    h = \frac { 14 \cdot 48 } { 2 \cdot 25 } = \frac { 336 } { 25 } = 13,44 \mathrm { cm }
    —————————————————-
    b)
    a ^ { 2 } = 17,64 + 31,36
    \left. \begin{array} { l } { a ^ { 2 } = 49 } \\ { a = 7 cm } \end{array} \right.
    —
    \left. \begin{array} { l } { P = 4 a } \\ { P = 28 cm } \end{array} \right.
    —
    \left. \begin{array} { l } { h = \frac { d _ { 1 } \cdot d _ { 2 } } { 2 a } } \\ { L = \frac { 8,4 \cdot 11,2 } { 14 } } \end{array} \right.
    h = \frac { 94,08 } { 14 } \Rightarrow h = 6,72 cm
  2. Aria rombului este de 96 cm^2, lungimea unei diagonale este de 16 cm. Calculeaza perimetrul rombului.
    ———————–
    Rezolvare
    A = \frac { d _ { 1 } \cdot d _ { 2 } } { 2 }
    96 = \frac { d \cdot 16 } { 2 } = d \cdot 8
    96 = 8 d
    d = \frac { 96 } { 8 }
    \mathrm { d } = 12 \mathrm { cm }
    —
    \mathrm { d } _ { 1 } = 12 \mathrm { cm } , \mathrm { d } _ { 2 } = 16 \mathrm { cm } , \mathrm { a } = ?
    —
    a ^ { 2 } = \left( \frac { d _ { 1 } } { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { d _ { 2 } } { 2 } \right) ^ { 2 }
    a ^ { 2 } = 6 ^ { 2 } + 8 ^ { 2 } = 36 + 64 = 100
    a = \sqrt { 100 }
    a = 10cm
    \mathrm { P } = \mathrm { 4a } = 40cm
  3. Prin aplicarea teoremei lui Pitagora la romb dovedește că:
    a) a = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { d _ { 1 } ^ { 2 } + d _ { 2 } ^ { 2 } }
    b) d _ { 1 } = \sqrt { 4 a ^ { 2 } - d _ { 2} ^ { 2 } }
    c) d _ { 2 } = \sqrt { 4 a ^ { 2 } - d _ { 1 } ^ { 2 } }

    —————————————————
    Rezolvare:
    a)
    a ^ { 2 } = \left( \frac { d _ { 1 } } { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { d _ { 2 } } { 2 } \right) ^ { 2 }
    a ^ { 2 } = \frac { d _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 } + \frac { d _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 }
    a ^ { 2 } = \frac { d _ { 1 } ^ { 2 } + d _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 }
    a ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } \left( d _ { 1 } ^ { 2 } + d _ { 2 } ^ { 2 } \right) / \sqrt { }
    a = \sqrt { \frac { 1 } { 4 } \cdot \left( d _ { 1 } ^ { 2 } + d _ { 2 } ^ { 2 } \right) }
    a = \sqrt { \frac { 1 } { 4 } } \cdot \sqrt { d _ { 1 } ^ { 2 } + d _ { 2 } ^ { 2 } }
    a = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { d _ { 1 } ^ { 2 } + d _ { 2 } ^ { 2 } }
    —————–
    b)
    \left( \frac { d _ { 1 } } { 2 } \right) ^ { 2 } = a ^ { 2 } - \left( \frac { d _ { 2 } } { 2 } \right) ^ { 2 }
    \frac { d _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 } = a ^ { 2 } - \frac { d _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 } / \cdot 4
    d _ { 1 } ^ { 2 } = 4 a ^ { 2 } - d _ { 2 } ^ { 2 } / \sqrt { }
    d _ { 1 } = \sqrt { 4 a ^ { 2 } - d _ { 2 } ^ { 2 } }
    —————–
    c)
    \left. \begin{array} { l } { \left( \frac { d _ { 2 } } { 2 } \right) ^ { 2 } = a ^ { 2 } - \left( \frac { d _ { 1 } } { 2 } \right) ^ { 2 } } \\ { \frac { d _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 } = a ^ { 2 } - \frac { d ^ { 2 } } { 4 } / \cdot 4 } \\ { d _ { 2 } ^ { 2 } = 4 a ^ { 2 } - d _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { d _ { 2 } = \sqrt { 4 a ^ { 2 } - d _ { 1 } ^ { 2 } } } \end{array} \right.
  4. O diagonală este egală cu lungimea laturii rombului. Calculează cealaltă diagonală
    ———————————————————
    Rezolvare

    \left. \begin{array} { l } { a ^ { 2 } = \left( \frac { a } { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { d } { 2 } \right) ^ { 2 } } \\ { \left( \frac { d } { 2 } \right) ^ { 2 } = a ^ { 2 } - \left( \frac { a } { 2 } \right) ^ { 2 } } \\ { \frac { d ^ { 2 } } { 4 } = a ^ { 2 } - \frac { a ^ { 2 } } { 4 } | \cdot 4 } \\ { d ^ { 2 } =3 a ^ { 2 } } \\ { d ^ { 2 } = { \sqrt { 3 a ^ { 2 } } } } \end{array} \right.
    d = \sqrt { 3 } \cdot \sqrt { a ^ { 2 } }
    d = a \sqrt { 3 }
    ——————————————————–
  5. Unghiul dintre înălțime și diagonala mai scurtă este de 30^0. Dacă lungimea diagonalei mai scurte este 5cm, calculează aria și perimetrul rombului.
    ——————————————————–
    Rezolvare

    \mathrm { P } = 4 \mathrm { a } , \quad A = a \cdot h = \frac { d _ { 1 } d _ { 2 } } { 2 }
    —
    \left. \begin{array} { l } { \mathrm { d } _ { 1 } = \mathrm { a } = 5 \mathrm { cm } } \\ { \mathrm { P } = 4 \mathrm { a } = 20 \mathrm { cm } } \end{array} \right.
    —
    h = \frac { 5 \sqrt { 3 } } { 2 }
    —
    A = \frac { 25 \sqrt { 3 } } { 2 }

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *