Aplicarea teoremei lui Pitagora la triunghi – exerciții rezolvate

octombrie 10, 2018octombrie 11, 2018 matishPosted in Uncategorized

$a = \frac {c} {2}$

$b =\frac {c \sqrt{3}} {2}$

Triunghiul isoscel

$b^2 = ({\frac {a} {2}})^2 + h^2$

Triunghi echilateral

$\left. \begin{array} { l } { h ^ { 2 } = a ^ { 2 } - \left( \frac { a } { 2 } \right) ^ { 2 } } \\ { h ^ { 2 } = a ^ { 2 } - \frac { a ^ { 2 } } { 4 } } \\ { h ^ { 2 } = \frac { 4 a ^ { 2 } } { 4 } - \frac { a ^ { 2 } } { 4 } } \end{array} \right.$
$\left. \begin{array} { l } { h ^ { 2 } = \frac { 3 a ^ { 2 } } { 4 } / \sqrt { } } \\ { h = \sqrt { \frac { 3 a ^ { 2 } } { 4 } } } \end{array} \right.$
$\left. \begin{array} { l } { h = \frac { \sqrt { 3 } \cdot \sqrt { a ^ { 2 } } } { \sqrt { 4 } } } \\ { h = \frac { \sqrt { 3 } a } { 2 } } \end{array} \right.$

$h = \frac { a \sqrt { 3 } } { 2 }$

$A = \frac { a \cdot h } { 2 }$

$A = \frac { a \cdot \frac { a \sqrt { 3 } } { 2 } } { 2 }$
$A = \frac {\frac { a ^ { 2 } \sqrt { 3 } } {2}} { 2 }}$
$A = \frac {\frac { a ^ { 2 } \sqrt { 3 } } {2}} {\frac{ 2 }{1}}}$

$A = \frac { a ^ { 2 } \sqrt { 3 } } { 4 }$

Exerciții

Calculează necunoscutele din figură

————————————————-
Rezolvare:
a)
$b = \frac { c } { 2 } = \frac { 10 } { 2 } = 5 \quad , b = 5 c m$
$a ^ { 2 } = c ^ { 2 } - b ^ { 2 }$
$a ^ { 2 } = 100 - 25 = 75 , \quad a = \sqrt { 75 } = \sqrt { 25 \cdot 3 }$
$a = 5 \sqrt { 3 } c m$
sau
$a = 10 \frac{10 \sqrt3}{2}=5 \sqrt { 3 } c m$
————————————————–
b)
$c = 2 \cdot b = 12 , c = 12 \mathrm { cm }$
$a ^ { 2 } = c ^ { 2 } - b ^ { 2 } = 144 - 36 = 108$
$a = \sqrt { 108 } = \sqrt { 36 \cdot 3 } = \sqrt { 36 } \cdot \sqrt { 3 } = 6 \sqrt { 3 }$
$a = 6 \sqrt { 3 }$
————————————————-
Calculează înălțimea unui triunghi isoscel având baza a și latura b dacă:
a) a = 6cm și b = 5cm
b) a = 16cm și b = 10cm
————————————————-
Rezolvare

a)
$\left. \begin{array} { l } { h ^ { 2 } = b ^ { 2 } - \left( \frac { a } { 2 } \right) ^ { 2 } } \\ { h ^ { 2 } = 25 - 9 } \\ { h ^ { 2 } = 16 } \\ { h = \sqrt { 16 } } \\ { h = 4 c m } \\ \hline \end{array} \right.$
—————————————————-
b)
$\left. \begin{array} { l } { h ^ { 2 } = b ^ { 2 } - \left( \frac { a } { 2 } \right) ^ { 2 } } \\ { h ^ { 2 } = 100 - 64 } \\ { h ^ { 2 } = \sqrt { 36 } } \\ { h = 6 \mathrm { cm } } \end{array} \right.$
—————————————————-
Cât este aria unui triunghi isoscel dacă baza sa este de 10cm și latura de 13cm?
————————
Rezolvare:

$\mathrm { A } = \quad \frac { a \cdot h } { 2 }$
$\left. \begin{array} { l } { h ^ { 2 } = b ^ { 2 } - \left( \frac { a } { 2 } \right) ^ { 2 } } \\ { h ^ { 2 } = 13 ^ { 2 } - 5 ^ { 2 } } \\ { h ^ { 2 } = 169 - 25 } \\ { h ^ { 2 } = 144 } \\ { h = \sqrt { 144 } } \\ { h = 12 \mathrm { cm } } \end{array} \right.$
——————————————–
Calculează perimetrul triunghiului isoscel, dacă
a) b = 10cm și ha = 8cm
b) b = 13cm și ha = 5cm
——————————————-
Rezolvare:

$\mathrm { P } = \mathrm { a } + \mathrm { b } + \mathrm { b } = \mathrm { a } + 2 \mathrm { b }$
$\left( \frac { a } { 2 } \right) ^ { 2 } = b ^ { 2 } - h _ { a } ^ { 2 }$
$\frac { a } { 2 } = \sqrt { b ^ { 2 } - h _ { a } ^ { 2 } }$
$a = 2 \sqrt { b ^ { 2 } - h _ { a } ^ { 2 } }$
—-
a)
$\left. \begin{array} { l } { a = 2 \sqrt { 100 - 64 } } \\ { a = 2 \sqrt { 36 } } \\ { \overline { a = 2 \cdot 6 } } \\ { \mathbf { a } = 12 \mathrm { cm } } \\ { \mathrm { P } = 12 + 2 \cdot 10 } \\ { \mathrm { P } = 32 \mathrm { cm } } \end{array} \right.$
——————————————–
b)
$\left. \begin{array} { l } { a = 2 \sqrt { 169 - 25 } } \\ { a = 2 \sqrt { 144 } } \\ { a = 2 \cdot 12 } \\ { a = 24 c m } \\ { P = 24 + 2 \cdot 13 } \\ { P = 50 \mathrm { cm } } \end{array} \right.$
——————————————–
Calculează laturile triunghiului echilateral dacă înălțimea sa este de
a) 4cm
b) 12 dm
——————————————–
Rezolvare:
a)
$\left. \begin{array} { l } { h ^ { 2 } = a ^ { 2 } - \left( \frac { a } { 2 } \right) ^ { 2 } } \\ { h ^ { 2 } = a ^ { 2 } - \frac { a ^ { 2 } } { 4 } } \\ { 16 = a ^ { 2 } - \frac { a ^ { 2 } } { 4 } } \\ { 16 = \frac { 4 a ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { 4 } } \\ { 16 = \frac { 3 a ^ { 2 } } { 4 } } \end{array} \right.$
$\left. \begin{array} { l } { 64 = 3 a ^ { 2 } } \\ { a ^ { 2 } = \frac { 64 } { 3 } } \\ { a = \sqrt { \frac { 64 } { 3 } } = \frac { 8 } { \sqrt { 3 } } = \frac { 8 \sqrt { 3 } } { 3 } } \end{array} \right.$
——————————————–
b)
$\left. \begin{array} { c } { 144 = a ^ { 2 } - \frac { a ^ { 2 } } { 4 } } \\ { 144 = a ^ { 2 } - \frac { a ^ { 2 } } { 4 } } \\ { 144 = \frac { 3 a ^ { 2 } } { 4 } } \\ { 576 = 3 a ^ { 2 } } \end{array} \right.$
$\left. \begin{array} { l } { a ^ { 2 } = \frac { 576 } { 3 } = 192 } \\ { a = \sqrt { 192 } = \sqrt { 64 \cdot 3 } } \\ { a = 8 \sqrt { 3 } d m } \end{array} \right.$
———————————————
Calculează latura triunghiului echilateral, dacă aria sa este
a) $A = \frac { 9 \sqrt { 3 } } { 4 } c m ^ { 2 }$
b) $A = 18 \sqrt { 3 } \mathrm { cm } ^ { 2 }$
———————————————
Rezolvare:
a)
$A = \frac { a ^ { 2 } \sqrt { 3 } } { 4 }$
$\left. \begin{array} { l } { \frac { a ^ { 2 } \sqrt { 3 } } { 4 } = \frac { 9 \sqrt { 3 } } { 4 } } \\ { a ^ { 2 } = 9 } \\ { a = \sqrt { 9 } } \\ { a = 3 } \end{array} \right.$
———————————————
b)
$A = \frac { a ^ { 2 } \sqrt { 3 } } { 4 }$
$\frac { a ^ { 2 } \sqrt { 3 } } { 4 } = 18 \sqrt { 3 }$
$\left. \begin{array} { l } { a ^ { 2 } \sqrt { 3 } = 4 \cdot 18 \sqrt { 3 } } \\ { a ^ { 2 } \sqrt { 3 } = 72 \sqrt { 3 } } \\ { a ^ { 2 } = 72 } \end{array} \right.$
$\left. \begin{array} { l } { a = \sqrt { 36 \cdot 2 } } \\ { a = 6 \sqrt { 2 } } \end{array} \right.$

Temă de casă

Determină laturile necunoscute a figurilor de mai jos
Calculează înălțimea unui triunghi isoscel care are baza a și laturile egale b, dacă a = 16 cm și b = 10 cm
Cât este aria unui triunghi isoscel, dacă baza este de 6 cm și latura egală de 5cm?
Calculează perimetrul triunghiului isoscel, dacă $b = 13 c m$ și $\mathrm { h } _ { 3 } = 5 \mathrm { cm }$
Calculează laturile triunghiului echilateral dacă înălțimea sa este de 12 dm
Calculează latura triunghiului echilateral, dacă aria sa este $A = 18 \sqrt { 3 } \mathrm { cm } ^ { 2 }$

Triunghiul isoscel

Triunghi echilateral

Exerciții

Temă de casă

Lasă un răspuns Anulează răspunsul